Формальная логика

Формальная логика — фундамент ясного мышления. Ее понимание позволяет четко формулировать мысли, находить ошибки в чужой аргументации и принимать обоснованные решения.

Здесь мы затронем лишь базу, необходимый минимум и повторим то, что вы уже наверняка знаете, от атомарных высказываний до правил вывода и законов де Моргана.

1. Основные законы логики

Прежде чем переходить к операциям, необходимо зафиксировать фундаментальные законы, на которых строится вся классическая бинарная логика. Первые три были сформулированы Аристотелем, четвертый — Лейбницем.

Закон тождества ($A \equiv A$)

Каждая мысль в процессе рассуждения должна сохранять один и тот же определенный смысл.

• Суть: Нельзя менять определение терминов "на лету".

• Пример ошибки: "Студенты прослушали лекцию". Слово "прослушали" двусмысленно: то ли внимательно слушали, то ли пропустили мимо ушей. Без уточнения контекста логический вывод невозможен.

Закон противоречия ($\neg(A \land \neg A)$)

Два противоречащих суждения не могут быть одновременно истинными.

• Суть: Высказывание не может быть одновременно истиной и ложью.

• Пример: Нельзя сказать "Этот код работает" и "Этот код не работает" об одной и той же версии программы в один и тот же момент времени.

Закон исключенного третьего ($A \lor \neg A$)

Из двух противоречащих суждений одно истинно, другое ложно, а третьего не дано.

• Суть: Мир бинарен. Либо факт имеет место, либо нет.

• Пример: Число $x$ либо четное, либо нечетное. Не бывает "почти четных" чисел.

• Важно: Этот закон не работает в нечеткой логике (Fuzzy Logic), где существуют промежуточные состояния, но в классической логике (и в if-конструкциях программирования) он абсолютен.

Закон достаточного основания

Всякое истинное утверждение должно быть обосновано другими утверждениями, истинность которых уже доказана.

• Суть: Ничто не принимается на веру просто так ("потому что я так сказал"). Это требование доказательности и верифицируемости.

• Пример: Утверждение "Этот алгоритм работает быстрее" логически ничтожно без метрик, бенчмарков или анализа сложности ($O(n)$).

2. Высказывания (Propositions)

Базовой единицей формальной логики является высказывание.

Определение: Высказывание — это предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно ($True$) или ложно ($False$).

Примеры:

• $P$: "Сургут — столица мира". ($True$)

• $Q$: "2 + 2 = 5". ($False$)

Важно: Не каждое предложение является высказыванием.

• Вопросы ("Который час?") или призывы ("Закройте дверь") не имеют истинностного значения.

• Утверждения с неопределенными переменными, например, "Он высокий человек" или "$x > 5$". В текущем виде у них нет значения истины. В логике такие конструкции называются предикатами.

3. Логические операции (Connectives)

Из простых высказываний строятся сложные с помощью логических связок.

Конъюнкция (И, $\land$)

Высказывание $A \land B$ истинно тогда и только тогда, когда оба утверждения истинны одновременно.

• Пример: "На улице идет дождь И дует ветер". Это утверждение будет ложью, если есть только дождь без ветра.

Дизъюнкция (ИЛИ, $\lor$)

Логическое "ИЛИ" часто путают с бытовым выбором "или то, или другое". В логике дизъюнкция неисключающая. Высказывание $A \lor B$ истинно, если истинно хотя бы одно из утверждений (или оба сразу).

• Пример: "Для поступления нужно сдать математику ИЛИ физику". Если абитуриент сдал оба предмета, условие не нарушено — оно истинно.

Импликация (Если... то, $\rightarrow$)

Самая сложная для интуитивного понимания операция. Читается как "Если A, то B".
Высказывание $A \rightarrow B$ ложно только в одном случае: когда посылка ($A$) истинна, а следствие ($B$) ложно.

• Пример: "Если идет дождь ($A$), то асфальт мокрый ($B$)".

Рассмотрим неочевидные случаи:

1. Дождя нет ($A=False$), но асфальт мокрый ($B=True$). Нарушена ли наша логика? Нет, асфальт могли помыть машиной. Импликация остается истинной.

2. Дождя нет ($A=False$), асфальт сухой ($B=False$). Логика также не нарушена.

Правило: "Из лжи следует все что угодно". Если условие не выполнено, само утверждение не считается ложным.

Эквиваленция (Тогда и только тогда, $\leftrightarrow$)

Истинна, когда значения $A$ и $B$ совпадают.

• Пример: "Я пойду гулять тогда и только тогда, когда закончится дождь".

4. Тавтологии

Если формула истинна при любых обстоятельствах, она называется тавтологией. В риторике это часто "пустые", невозможный для опровержения высказывания, не несущие новой информации.

Пример формулы: $(A \land B) \rightarrow A$

• Словесная интерпретация: "Если идет дождь и дует ветер, то идет дождь".

• Это утверждение истинно всегда, независимо от погоды. Оно логически правильное, но бесполезное.

5. Законы де Моргана

Эти законы помогают правильно формулировать отрицания сложных утверждений. Это частая ловушка в спорах и договорах.

Первый закон

Отрицание "И" меняет смысл на "ИЛИ" с отрицанием частей:

• Утверждение: "Он умный И честный".

• Неправильное отрицание: "Он глупый и лживый".

• Правильное отрицание: "Неверно, что он умный и честный" = "Он ЛИБО не умный, ЛИБО не честный (либо и то и другое сразу)". Достаточно отсутствия одного качества, чтобы исходная фраза стала ложью.

Второй закон

Отрицание "ИЛИ" меняет смысл на "И" с отрицанием частей:

• Утверждение: "Завтра я пойду в кино ИЛИ в парк".

• Отрицание: "Я никуда не пойду" = "Я НЕ пойду в кино И я НЕ пойду в парк".

6. Логический вывод (Правила дедукции)

Логика позволяет получать новые достоверные знания из имеющихся фактов.

Modus Ponens (Утверждение)

Если мы знаем правило "Если $A$, то $B$" и видим факт $A$, мы обязаны признать факт $B$.

• Пример:

  1. Все люди смертны (Если человек, то смертен).

  2. Сократ — человек.

  3. Вывод: Сократ смертен.

Modus Tollens (Отрицание)

Если мы знаем правило "Если $A$, то $B$", но видим, что $B$ не произошло (наблюдаем $\neg B$), мы обязаны признать, что $A$ не было.

• Пример (метод Шерлока Холмса):

  1. Посылка: "Если бы в дом проник незнакомец ($A$), собака бы залаяла ($B$)".

  2. Наблюдение: Собака не залаяла ($\neg B$).

  3. Вывод: В дом не проникал незнакомец ($\neg A$).

Заключение

Мы рассмотрели фундаментальные принципы классической бинарной логики. Эти инструменты позволят вам структурировать мышление и избегать распространенных когнитивных ошибок.

Однако формальная логика — это обширная дисциплина. За рамками данной статьи остались такие важные темы, как логика предикатов (работа с кванторами), нечеткая логика (Fuzzy Logic) для обработки неопределенности и вероятностные методы рассуждения (индукция и абдукция). Эти направления заслуживают отдельного детального изучения (надеюсь уже с вашей стороны). 

Надеюсь в очередной раз вас заинтересовал, до скорого ~